Go Back
Print this page

Annals of Mathematics

Manifold Destiny

Легендарная проблема и битва за то, кто решил ее.

by Sylvia Nasar and David Gruber August 28, 2006

(Перевод на русский язык В.О. Соловьева)

Вечером  20-го июня несколько сотен физиков, включая Нобелевских лауреатов, собрались в аудитории Гостиницы Дружбы в Пекине на лекцию китайского математика Shing-Tung Yau. В конце 1970-х, когда Яу было за двадцать, он имел ряд крупных достижений, которые помогли начать революцию теории струн в физике и создали ему, в дополнение к медали Филдса — самой желанной награде для математика — в обеих дисциплинах репутацию  мыслителя непревзойденной технической мощи.

 

Яу с тех пор стал профессором математики в Гарварде и директором институтов математики в Пекине и Гонконге, разделив свое время между Соединенными Штатами и Китаем. Его лекция в Гостинице Дружбы была частью международной конференции по теории струн, которую он организовал при поддержке китайского правительства, частично чтобы сделать рекламу недавним достижениям страны в теоретической физике. (Больше шести тысяч студентов посетили программную речь, которую произнес близкий друг Яу, Стивен Хокинг, в Большом Народном Зале.) Предметом доклада Яу было нечто, знакомое лишь немногим в аудитории: гипотеза Пуанкаре, загадка, имевшая столетний возраст, о свойствах трехмерных сфер, которая, вследствие того, что она имела важное значение для математики и космологии и того, что она не поддавалась всем попыткам ее решения, ценилась математиками как святая чаша Грааля.

 

Яу, коренастый мужчина пятидесяти семи лет, стоял на кафедре в рубашке с короткими рукавами и в очках с черной оправой, держа руки в карманах и описывал, как два его ученика, Xi-Ping Zhu и Huai-Dong Cao, несколько недель тому назад закончили доказательство гипотезы Пуанкаре. “Я вполне уверен в работе Zhu и  Cao,” — сказал Яу. “Китайские математики имеют все основания гордиться таким большим успехом в полном решении загадки.” Он сказал, что Zhu и Cao  обязаны его давнему американскому сотруднику Ричарду Гамильтону, который заслуживает наибольшей чести за доказательство гипотезы Пуанкаре. Он также упомянул Григория Перельмана, российского математика, который, как он признал, сделал важный вклад. Однако Яу сказал, что “в работе Перельмана, самой по себе захватывающей, многие ключевые идеи доказательства даются в виде набросков или схематично, а полнота деталей часто отсутствует.” Он добавил: “Мы хотели бы, чтобы Перельман дал свой комментарий. Но Перельман проживает в Санкт-Петербурге и отказывается общаться с другими людьми.”

 

В течение девяноста минут Яу обсуждал некоторые технические детали доказательства своих учеников. Когда он закончил, никто не задал никаких вопросов. Той ночью, однако, бразильский физик поместил сообщение о лекции на своем блоге. “Похоже, что Китай скоро возьмет на себя инициативу также и в математике,” — написал он.

 

Григорий Перельман, действительно, является затворником. Он оставил свою научную работу в Институте Математики имени Стеклова в Санкт-Петербурге в декабре прошлого года; у него немного друзей; и он живет с матерью в квартире на окраине города. Хотя он прежде никогда не давал интервью, он был сердечен и откровенен, когда мы посетили его в конце июня, вскоре после конференции Яу в Пекине, взяв нас с собой в длинную прогулку по городу. “Я ищу друзей, и они не обязательно должны быть математиками,” — сказал он. Неделю перед конференцией Перельман провел в обсуждениях гипотезы Пуанкаре с сэром Джоном М. Боллом, пятидесятивосьмилетним президентом Международного Математического Союза (I.M.U.), влиятельной профессиональной ассоциации этой дисциплины. Встреча, которая имела место в центре для конференций в величественном особняке, смотрящем на Неву, была очень необычной. В конце мая комитет из девяти видных математиков проголосовал за то, чтобы наградить Перельмана медалью Филдса за его работу над доказательством гипотезы Пуанкаре, и Болл прибыл в Санкт-Петербург, чтобы убедить его принять награду на общественной церемонии на проводящемся раз в четыре года конгрессе  I.M.U, в Мадриде, 22-го августа.

 

Медаль Филдса, как и Нобелевская премия, возникла, частично, из желания поднять науку выше национальной розни. Немецкие математики были исключены из первого конгресса I.M.U. в 1924 г., и, хотя это запрещение было снято перед следующим конгрессом, травма, которую оно вызвало, в 1936 г. привела к учреждению филдсовской медали, награды которая должна была стать “настолько международной и безличной, насколько это возможно.”

 

Однако филдсовская медаль, которая присуждается каждые четыре года нескольким математикам (от двух до четырех), должна не только вознаграждать за прошлые достижения, но также  стимулировать будущие исследования; по этой причине она дается только математикам в возрасте не старше сорока лет. В последние десятилетия, поскольку число профессиональных математиков росло, филдсовская медаль становилась все более и более престижной. За почти семьдесят лет было присуждено всего сорок четыре медали, включая три за работы, близко связанные с гипотезой Пуанкаре — и ни один математик никогда не отказывался от награды. Однако Перельман сказал Боллу, что он не собирается принимать эту медаль. “Я отказываюсь,” — сказал он просто.

 

В течение восьми месяцев, начиная с ноября 2002 г., Перельман поместил в Интернете свое доказательство гипотезы Пуанкаре в трех частях. Как сонет или ария, математическое доказательство имеет свою отличительную форму и установленные правила. Оно начинается с аксиом, или принятых истин, и использует ряд логических утверждений, чтобы достичь заключения. Если логика считается неопровержимой, то результатом является теорема. В отличие от доказательств в юриспруденции или естественных науках, основанных на свидетельствах и поэтому подверженных квалификации и пересмотру, доказательства теорем являются категорическими. Суждения о точности доказательства выносятся рецензируемыми журналами; чтобы обеспечить справедливость, рецензенты должны быть тщательно выбраны редакторами журнала, и идентичность ученого, на рассмотрении которого находилась статья, сохраняется в тайне. Публикация подразумевает, что доказательство является полным, правильным и оригинальным.

 

По этим стандартам, доказательство Перельмана было неортодоксальным. Оно было удивительно кратким для такой амбициозной работы; логические последовательности, которые можно было бы развернуть на много страниц, часто радикально сжимались. Кроме того, в доказательстве не было никакого прямого упоминания гипотезы Пуанкаре и содержалось много изящных результатов, которые были несущественны для центрального аргумента. Но четыре года спустя по крайней мере две команды экспертов исследовали доказательство и не нашли в нем никаких существенных пробелов или ошибок. В математическом сообществе возник консенсус: Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. Несмотря на это, сложность доказательства и использование Перельманом стенографического стиля в построении некоторых из его самых важных утверждений делали его доказательство уязвимым для вызова. Немногие из математиков имели квалификацию, необходимую для того, чтобы оценить и защитить его.

 

После прочтения ряда лекций по доказательству в Соединенных Штатах в 2003 г. Перельман вернулся в Санкт-Петербург. С тех пор, хотя он продолжил отвечать на вопросы по электронной почте, он имел минимальный контакт с коллегами, и, по причинам, которых никто не понял, не пытался опубликовать свои результаты. Однако было мало сомнений в том, что Перельман, которому 13-го июня исполнялось сорок лет, заслужил филдсовскую медаль. Когда Болл планировал конгресс I.M.U.  2006 г., он начал рассматривать это как историческое событие. Должно было присутствовать более трех тысяч математиков, и король Испании Хуан Карлос согласился председательствовать на церемонии награждений. Информационный бюллетень I.M.U предсказывал, что конгресс будут помнить как “событие, когда эта гипотеза стала теоремой.” Болл, настроенный удостовериться, что Перельман приедет, решил сам поехать в Санкт-Петербург.

 

Болл хотел сохранить свое посещение в тайне — имена получателей медали Филдса официально объявляются на церемонии награждения — и центр конференций, где он встретился с Перельманом, был пуст. В течение десяти часов, больше двух дней, он пытался убедить Перельмана согласиться принять награду. Перельман, стройный, лысеющий мужчина со вьющейся бородой, густыми бровями и сине-зелеными глазами, слушал вежливо. Он не разговаривал по-английски уже три года, но плавно парировал просьбы Болла, однажды взяв его с собой на длинную прогулку — одно из любимых занятий Перельмана. Как он подвел итог этой беседы две недели спустя: “Болл предложил мне три альтернативы: принимайте и приезжайте; принимайте и не приезжайте, а мы пришлем Вам медаль позже; третья — я не принимаю приз. С самого начала я говорил ему, что я выбрал третье.” Перельман объяснил, что медаль Филдса не представляет для него никакого интереса. “Это было полностью неуместным для меня,” — сказал он. “Всем ясно, что если доказательство правильно, то никакого другого признания не требуется.”

 

Доказательства гипотезы Пуанкаре объявлялись почти каждый год, с тех пор как гипотеза была сформулирована Анри Пуанкаре более ста лет назад. Пуанкаре был кузеном Раймонда Пуанкаре, президента Франции во время Первой Мировой войны, и одним из самых плодовитых математиков девятнадцатого столетия. Небольшой, близорукий и, как известно, рассеянный, он рассмотрел свою известную проблему в 1904 г., за восемь лет до смерти, и поместил ее как второстепенный вопрос в конце статьи длиной в шестьдесят пять страниц.

 

Пуанкаре не добился большого успеха в доказательстве гипотезы. «Cette question nous entraоnerait trop loin» (“Этот вопрос завел бы нас слишком далеко”), написал он. Он был основателем топологии, также известной как “геометрия резинового листа,” поскольку она сосредотачивается на внутренних свойствах пространств. С точки зрения тополога, нет никакой разницы между бубликом и кофейной чашкой с ручкой. Каждый из них имеет единственное отверстие и может быть трансформирован так, чтобы стать другим, не будучи порванным или разрезанным. Для описания такого абстрактного топологического пространства Пуанкаре использовал термин “многообразие.” Самым простым двумерным многообразием является поверхность футбольного мяча, которая для тополога является сферой, даже если ее топчут, растягивают или давят. Доказательство того, что объект является так называемой  2-сферой, хотя он может принять произвольное число форм, состоит в  том, что он является “односвязным,” это означает, что его не прокалывают никакие отверстия. В отличие от футбольного мяча, бублик  — не истинная сфера. Если Вы завязываете скользящий узел вокруг футбольного мяча, Вы можете легко затянуть узел, двигая его по поверхности мяча. Но если Вы завязываете скользящий узел вокруг бублика, через отверстие в его середине, Вы не можете затянуть узел, не порвав бублика.

 

Двумерные многообразия были хорошо поняты к середине девятнадцатого столетия. Но оставалось неясным, было ли то, что  верно для двух измерений, также верно для трех. Пуанкаре предположил, что все замкнутые, односвязные трехмерные многообразия – не имеющие отверстий и имеющие конечную протяженность, являются сферами. Гипотеза была потенциально важна для ученых, изучающих наибольшее из известных трехмерных многообразий: Вселенную. Доказать ее математически, однако, было совсем не легко. Большинство попыток было просто ошибочными, но некоторые приводили к важным математическим открытиям, включая доказательства леммы Дена, теоремы сферы и теоремы петли, которые являются теперь фундаментальными понятиями в топологии.

 

К 1960-м годам топология стала одной из самых производительных областей математики, и молодые топологи начали регулярные наступления на гипотезу Пуанкаре. К удивлению большинства математиков, оказалось, что многообразия четырех, пяти и более измерений более послушны, чем трехмерные многообразия. К 1982 г. гипотеза Пуанкаре была доказана для любого числа измерений, кроме трех. В 2000 г. Институт Математики Клея (Clay), частный фонд, который поддерживает математические исследования, назвал гипотезу Пуанкаре одной из семи самых важных нерешенных проблем математики и предложил миллион долларов тому, кто сможет доказать ее.

 

“Вся моя жизнь в качестве математика была во власти гипотезы Пуанкаре,” — сказал Джон Морган, глава математического факультета в Университете Колумбии. “Я никогда не думал, что увижу решение. Я думал, что никто не сможет справиться с этим.”

 

Григорий Перельман не планировал стать математиком. “Никогда не было момента решения,” — сказал он, когда мы встретились. Мы были рядом с домом, где он живет, в Купчино, в окружении серых высотных зданий. Отец Перельмана, который был инженером-электриком, поощрял его интерес к математике. “Он давал мне логические и другие математические задачи, чтобы я размышлял,” сказал Перельман. “Он доставал для меня много книг. Он учил меня играть в шахматы. Он гордился мной.” Среди книг, которые купил ему отец, был экземпляр “Занимательной физики,” бестселлера 1930-х годов в Советском Союзе. В предисловии автор книги описывает ее содержание как “загадки, головоломки, интересные анекдоты и неожиданные сравнения,” — добавляя: “Я много цитирую Жюля Верна, Герберта Уэллса, Марка Твена и других авторов, потому что, помимо развлечения, фантастические эксперименты, которые эти авторы описывают, вполне могут служить поучительными иллюстрациями при занятиях физикой.” Темы книги включали то, как спрыгнуть с автомобиля на ходу, и почему, “согласно закону Архимеда, мы никогда не утонем в Мертвом море.”

 

Осознание того, что российское общество считало стоящим то, что Перельман делал для собственного удовольствия, стало неожиданным. К тому времени когда ему исполнилось четырнадцать, он стал звездой местного математического клуба. В 1982 г., когда Shing-Tung Yau получил медаль Филдса, Перельман завоевал прекрасные оценки и золотую медаль на Международной математической олимпиаде в Будапеште. Он был дружелюбен со своими товарищами по команде, но не близок: “У меня не было никаких близких друзей,” — сказал он. Он был одним из двух или трех евреев в своем классе и имел страсть к опере, что также ставило его особняком от товарищей. Его мать, преподаватель математики в техническом колледже, играла на скрипке и начала брать его в оперу, когда ему было шесть. К тому времени, когда Перельману исполнилось пятнадцать, он тратил свои карманные деньги на пластинки. Он гордился записью известного исполнения “Травиаты” 1946 г., с Licia Albanese в роли Виолетты. “Ее голос был очень хорош,” — сказал он.

 

В Ленинградском Университете, в который Перельман поступил в 1982 г., в возрасте шестнадцати лет, он ходил на продвинутые занятия по геометрии и решил проблему, поставленную Юрием Бураго, математиком из Института имени Стеклова, который позже стал руководителем его диссертации. “Есть много способных студентов, которые говорят раньше, чем думают,” — сказал Бураго. “Гриша был другим. Он думал глубоко. Его ответы были всегда правильны. Он всегда все проверял очень, очень тщательно.” Бураго добавил, “Он не был быстрым. Скорость ничего не значит. Математика не зависит от скорости. Она — о глубоком.”

 

В начале 1990-х Перельман стал в Институте Стеклова экспертом по геометрии римановых пространств и пространств Александрова — расширениям традиционной евклидовой геометрии — и начал публиковать статьи в ведущих российских и американских математических журналах. В 1992 г. Перельман был приглашен провести по семестру в Нью-Йоркском Университете и в Университете Стони Брук. К тому времени, когда он уехал в Соединенные Штаты, той осенью, российская экономика разрушилась. Дэн Струк, математик из M.I.T., вспоминает контрабанду долларов в страну, чтобы доставить их отставному математику из Стекловки, ставшему нищим, как многие из его коллег.

 

Перельман был рад находиться в Соединенных Штатах, столице международного сообщества математики. Он всегда ходил в одном и том же коричневом вельветовом жакете и говорил друзьям в N.Y.U., что  живет на диете из хлеба, сыра и молока. Он любил ходить в Бруклин, где у него были родственники и где он мог купить традиционный российский черный хлеб. Некоторые из коллег были озадачены его ногтями, которые достигали нескольких дюймов в длину. “Если  они растут, почему не позволить им расти?” — будто бы сказал он, когда кто-то спросил, почему он не стрижет их. Раз в неделю он и молодой китайский математик по имени Gang Tian ездили в Принстон, чтобы посещать семинар в Институте высших исследований.

 

Уже несколько десятилетий Институт и соседний Принстонский Университет были центрами топологических исследований. В конце семидесятых Уильям Терстон, математик из Принстона, который любил проверять свои идеи с помощью ножниц и ватманской бумаги, предложил таксономию для классификации трехмерных многообразий. Он утверждал, что, хотя многообразия можно заставить принимать много различных форм, они, тем не менее, имеют "предпочтительную" геометрию, так же, как кусок шелка, наброшенный портнихой на манекенщицу, принимает формы манекенщицы.

 

Терстон предположил, что каждое трехмерное многообразие может быть разложено на один или несколько компонентов, которых имеется восемь типов, включая сферический тип. Теория Терстона, которая стала известна как гипотеза геометризации, описывает все возможные трехмерные многообразия, и таким образом, является мощным обобщением гипотезы Пуанкаре. Если бы она была подтверждена, то гипотеза Пуанкаре была бы также доказана. Доказательство гипотез Терстона и Пуанкаре “определенно распахивает двери,” сказал Барри Мазер, математик из Гарварда. Значение этих гипотез для других дисциплин, возможно, было в течение многих лет неочевидным, но для математиков эти проблемы фундаментальны. “Это своего рода теорема Пифагора двадцатого столетия,” добавил Мазер. “Она изменяет ландшафт.”

 

В 1982 г. Терстон получил за свой вклад в топологию медаль Филдса. В том же году Ричард Гамильтон, математик из Корнелла, издал статью об уравнении, названном потоком Риччи, которое, как он подозревал, могло быть существенно для доказательства гипотезы Терстона, а следовательно, и Пуанкаре. Как уравнение теплопроводности, описывающее, как равномерно распространяется тепло, чтобы создать более однородную температуру, например, перетекая от более горячих к более прохладным частям металлического листа, поток Риччи, разглаживая нерегулярности, наделяет многообразия более однородной геометрией.

 

Гамильтон, сын врача из Цинциннати, бросал вызов тормозному стереотипу математической профессии. Нахальный и непочтительный, он скакал на лошадях, занимался виндсерфингом и менял подружек. Он рассматривал математику просто как одно из удовольствий жизни. В сорок девять лет его считали блестящим лектором, но он опубликовал относительно немного, помимо ряда оригинальных статей относительно потока Риччи, и у него было мало аспирантов. Перельман прочитал статьи Гамильтона и пошел послушать его доклад в Институте высших исследований. После доклада Перельман застенчиво заговорил с ним.

 

“Я действительно хотел кое-что у него спросить,” — вспоминает Перельман. “Он улыбался и был весьма терпелив. Он, фактически, рассказал мне несколько вещей, которые он опубликовал несколько лет спустя. Он не колебался, рассказывать ли мне. Открытость и великодушие Гамильтона  действительно привлекли меня. Я не могу сказать, что большинство математиков ведут себя так.

 

“Я работал над другими вещами, хотя иногда думал о потоке Риччи,” — добавил Перельман. “Не надо было быть великим математиком, чтобы понять, что это будет полезно для геометризации. Я чувствовал, что я многого не знал. И продолжал задавать вопросы.”

 

Shing-Tung Yau также задавал Гамильтону вопросы о потоке Риччи. Яу и Гамильтон встретились в 1970-х и стали близки, несмотря на значительные различия в характере и образовании. Математик из Университета Калифорнии в Сан-Диего, который знает обоих, назвал их “математически любящими жизни друг друга.”

 

Семейство Яу переехало в Гонконг из материкового Китая в 1949 г., когда ему было пять месяцев, вместе с сотнями тысяч других беженцев, спасаясь от армий Мао. В предыдущем году, его отец, работавший для Организации Объединенных Наций, потерял большинство сбережений семейства в ряде неудавшихся предприятий. В Гонконге, чтобы поддержать жену и восьмерых детей, он обучал студентов колледжа классической китайской литературе и философии.

 

Когда Яу было четырнадцать, его отец умер от рака почек, оставив мать в зависимости от милостынь христианских миссионеров и маленьких сумм, которые она зарабатывала от продажи изделий кустарного промысла. До тех пор Яу был безразличным студентом. Но он начал посвящать себя школьным занятиям, обучая других студентов математике, чтобы заработать деньги. “Частично,  Яу направляет то, что он видит собственную жизнь, как реванш за отца,” — сказал Дэн Струк, математик из M.I.T., который знал Яу в течение двадцати лет. “Отец Яу походил на талмудиста, дети которого голодают.”

 

Яу изучал математику в китайском Университете Гонконга, где он привлек внимание Черна (Shiing-Shen Chern), выдающегося китайского математика, который помог ему получить стипендию в Университете Калифорнии в Беркли. Черн был автором известной теоремы, объединяющей топологию и геометрию. Он провел большую часть своей карьеры в Соединенных Штатах, в Беркли. Он часто посещал Гонконг, Тайвань а позже Китай, где был уважаемым символом китайских интеллектуальных достижений, способствовавшим продвижению математических и научных исследований.

 

В 1969 г. Яу поступил в аспирантуру в Беркли, записываясь на семь курсов каждый семестр и посещая несколько других. Он посылал половину денег из своей стипендии матери в Китай и производил на профессоров впечатление своим упорством. Ему пришлось разделить честь своего первого главного результата, когда он узнал, что два других математика работали над той же самой проблемой. В 1976 г. он доказал двадцать лет назад сформулированную гипотезу, имеющую отношение к тому типу многообразий, который является теперь критическим в теории струн. Французский математик сформулировал доказательство проблемы, которая известна как гипотеза Калаби, но доказательство Яу, было сильнее, потому что оно было более общим. (Физики теперь ссылаются на многообразия Калаби-Яу.) “Он не столько продумывал некоторый оригинальный способ рассмотрения предмета, сколько решал чрезвычайно трудные технические проблемы, которые в то время только он мог решить, чистым интеллектом и силой воли,” сказал Филип Гриффитс, геометр и прежний директор Института высших исследований.

 

В 1980 г., когда Яу было тридцать, он стал одним из самых молодых математиков, когда-либо принятых на постоянную должность преподавателя в Институт высших исследований, и он начал привлекать талантливых студентов. Он получил медаль Филдса два года спустя, первым из китайцев. К этому времени Черну было семьдесят лет, и он находился на грани отставки. Согласно родственнику Черна, “Яу решил, что он будет следующим известным китайским математиком, и что для Черна наступило время уходить.”

 

Гарвард пытался заполучить Яу, и когда, в 1983 г., собрались сделать ему второе предложение, Филип Гриффитс рассказал декану факультета версию истории из “Романа о Трех Королевствах,” китайской классики. В третьем столетии нашей эры китайский военачальник мечтал о создании империи, но самый замечательный генерал в Китае работал на конкурента. Три раза военачальник пробирался в королевство своего врага, чтобы найти генерала. Увлеченный генерал согласился присоединиться к нему, и вместе они преуспели и основали династию. Поняв намек, декан полетел в Филадельфию, где Яу жил в то время, чтобы сделать ему предложение. Даже в этом случае, Яу отказался. Наконец, в 1987 г. он согласился перейти в Гарвард.

 

Предпринимательское рвение Яу простиралось на сотрудничество с коллегами и студентами, и в дополнение к проведению своих собственных исследований, он начал организовывать семинары. Он часто объединялся с блестящими изобретательными математиками, включая Ричарда Шоена и Уильяма Микса. Но Яу было особенно увлечен Гамильтоном, как его поведением, так и воображением. “Я могу развлекаться с Гамильтоном,” — сказал нам Яу на конференции по теории струн в Пекине. “Я могу пойти поплавать с ним. Я выхожу с ним и его подругами и все такое.” Яу был убежден, что Гамильтон мог бы использовать уравнение потока Риччи, чтобы доказать гипотезы Пуанкаре и Терстона, и он убеждал его сосредоточиться на этих проблемах. “Встреча с Яу изменила его математическую жизнь,” — сказал друг обоих математиков о Гамильтоне. “Первый раз он шел к чему-то чрезвычайно большому. Разговоры с Яу придавали ему храбрость и направление.”

 

Яу полагал, что, если бы он смог помочь доказать гипотезу Пуанкаре, это было бы победой не только для него, но также и для Китая. В середине 1990-х Яу и несколько других китайских ученых начали встречаться с президентом Jiang Zemin, обсуждая, как восстановить научные учреждения страны, которые были в значительной степени разрушены в ходе Культурной Революции. Китайские университеты были в страшном состоянии. Согласно Стиву Смэйлу, который получил медаль Филдса за доказательство гипотезы Пуанкаре в высших измерениях, и который, после ухода в отставку из Беркли, преподавал в Гонконге, Пекинский Университет имел “залы, заполненные запахом мочи, одну комнату отдыха, один офис для всех доцентов” и платил своим преподавателям позорно низкие зарплаты. Яу убедил гонконгского магната недвижимости помочь с финансированием Института Математики Китайской Академии Наук, в Пекине, и учредить медаль, аналогичную медали Филдса для китайских математиков моложе сорока пяти лет. В своих поездках в Китай Яу рекламировал Гамильтона и их объединенную работу над потоком Ricci и гипотезой Пуанкаре в качестве модели для молодых китайских математиков. Как он выразился в Пекине: “Они всегда говорят, что вся страна должна учиться у Мао или некоторых великих героев. Таким образом, я подшутил над ними, но я был наполовину серьезен. Я сказал, что вся страна должна учиться у Гамильтона.”

 

Григорий Перельман уже учился у Гамильтона. В 1993 г. он получил двухлетнюю стипендию в Беркли. В то время как он был там, Гамильтон сделал несколько докладов в университетском городке, и в одном он упомянул, что он работал над гипотезой Пуанкаре. Стратегия риччи-потока Гамильтона была для реализации чрезвычайно хитрой и сложной технически. После одного из докладов в Беркли Гамильтон рассказал Перельману о самом большом препятствии. По мере того как пространство разглаживается под действием потока Риччи, некоторые области искажаются в то, что математики именуют "особенностями". Некоторые области, названные "шеями", становятся уменьшенными областями бесконечной плотности. Больше беспокойства доставляла Гамильтону особенность, которую он назвал "сигарой". Если бы сформировались сигары, волновался Гамильтон, то могло стать невозможным достижение однородной геометрии. Перельман понял, что статья, которую он написал о пространствах Александрова, могла бы помочь Гамильтону доказать гипотезы Терстона  и Пуанкаре, как только Гамильтон решил бы проблему сигар. “В одном месте я спросил Гамильтона, знал ли он определенный результат о коллапсе, который я доказал, но не опубликовал и который, как оказалось, был очень полезным,” — сказал Перельман. “Позже я понял, что Гамильтон не понимал того, о чем я говорил.” Дэн Струк из M.I.T. сказал: “Перельман, вероятно, учился у Яу и Гамильтона, а они в то время у него не учились.”

 

К концу своего первого года в Беркли Перельман написал несколько поразительно оригинальных статей. Его просили прочитать лекцию на конгрессе I.M.U. 1994 г. в Цюрихе и приглашали подать заявление на работу в Стэнфорд, Принстон, Институт высших исследований и Университет Тель-Авива. Как и Яу, Перельман был чудовищным решателем проблем. Вместо того, чтобы проводить годы, строя запутанную теоретическую структуру или определяя новые области исследования, он сосредотачивался на получении специфических результатов. Согласно Михаилу Громову, известному российскому геометру, который сотрудничал с Перельманом, он пытался преодолеть техническую трудность, касающуюся пространств Александрова и был очевидно озадачен. “Он не мог сделать этого,” — сказал Громов. “Это было безнадежно.”

 

Перельман сказал нам, что он любил работать над несколькими проблемами сразу. В Беркли, однако, он снова и снова возвращался к уравнению риччи-потока Гамильтона и к проблеме, которую Гамильтон считал возможным решить с помощью этого уравнения. Некоторые из друзей Перельмана замечали, что он становился все больше похож на отшельника. Приезжавшие из Санкт-Петербурга коллеги, которые останавливались в его квартире, были поражены тем, как скудно она была обставлена. Других беспокоило то, что он, казалось, хотел свести жизнь к ряду твердых аксиом. Когда член комитета по найму в Стэнфорде обратился к нему за автобиографией (C.V.), чтобы приложить ее к запросам на рекомендательные письма, Перельман отклонил это. “Если они знают мою работу, они не нуждаются в моем C.V.,” — сказал он. “Если они нуждаются в моем C.V., они не знают мою работу.”

 

В конечном счете, он получил несколько предложений работы. Но он все их отклонил и летом 1995 г. вернулся в Санкт-Петербург, на свое старое место работы в Институт Стеклова, где ему платили меньше ста долларов в месяц. (Он сказал другу, что сэкономил достаточно денег в Соединенных Штатах, чтобы прожить оставшуюся часть жизни.) Его отец уехал в Израиль двумя годами раньше, младшая сестра планировала присоединиться к отцу после окончания колледжа. Мать Григория, однако, решила остаться в Санкт-Петербурге, и Перельман переехал к ней. “Я понимаю, что в России я работаю лучше,” — сказал он коллегам в Стекловке.

 

В двадцать девять лет Перельман был уже сформировавшимся математиком и все же в значительной степени необремененным профессиональными обязанностями. Он был свободен заниматься теми проблемами, какими хотел, и он знал, что его работы, если  он захочет издать их, получат серьезное рассмотрение. Яков Элиашберг, математик из Стэнфорда, который знал Перельмана в Беркли, думает, что Перельман возвратился в Россию, чтобы работать над гипотезой Пуанкаре. “Почему бы и нет?” — сказал Перельман, когда мы спросили, была ли догадка Элиашберга верной.

 

Интернет позволял Перельману работать одному, продолжая черпать из общего водоема знаний. Перельман искал в статьях Гамильтона ключи к своим размышлениям и дал несколько семинаров по его работам. “Он не нуждался ни в какой помощи,” — сказал Громов. “Он любит быть в одиночестве. Он напоминает мне Ньютона — эта одержимость идеей, работа в одиночку, игнорирование мнения других людей. Ньютон был более неприятным. Перельман лучше, но очень одержим.”

 

В 1995 г. Гамильтон издал статью, в которой он обсуждал некоторые из своих идей по завершению доказательства Пуанкаре. Читая статью, Перельман понял, что Гамильтон не сделал никаких успехов в преодолении своих препятствий — шей и сигар. “Я не видел никаких свидетельств продвижения по сравнению с началом 1992 г.,” — сказал нам Перельман. “Возможно, он застрял еще раньше.” Однако, Перельман считал, что он видит путь из тупика. В 1996 г. он написал Гамильтону длинное письмо, очертив свое понимание, в надежде на сотрудничество. “Он не ответил,” — сказал Перельман. “Таким образом, я решил работать один.”

 

Яу понятия не имел, что работа Гамильтона над доказательством гипотезы Пуанкаре остановилась. Он все больше и больше беспокоился о своем собственном положении в профессиональной математике, особенно в Китае, где, как он беспокоился, более молодой ученый мог пытаться вытеснить его в качестве наследника Черна. Больше десятилетия прошло с тех пор как Яу доказал свой последний главный результат, хотя он продолжал публиковаться в изобилии. “Яу хочет быть королем геометрии,” — сказал Майкл Андерсон, геометр из Стони Брук. “Он полагает, что все должно исходить от него, что он должен осуществлять надзор. Он не любит людей, вторгающихся на его территорию.” Настроенный сохранить контроль над своей областью Яу побуждал своих студентов заниматься большими проблемами. В Гарварде, он управлял общеизвестно жестким семинаром по дифференциальной геометрии, который состоял из трехчасовых заседаний по  три раза в неделю. Каждому студенту назначалось недавно опубликованное доказательство и требовалось восстановить его, фиксируя все ошибки и заполняя промежутки. Яу полагал, что математик обязан проявлять себя явным образом и внушал своим студентам важность строгости на каждом шаге расуждений.

 

Есть два способа получить признание оригинального вклада в математику. Первый — это создать оригинальное доказательство. Второй — найти существенный пробел в чьем-либо доказательстве и вставить недостающий кусок. Однако только истинные математические пробелы — отсутствующие или ошибочные аргументы — могут быть основанием для претензий на оригинальность. Заполнение промежутков в изложении — пропусков и сокращений, использованных, чтобы сделать доказательство более эффективным, не считается. Когда в 1993 г. Эндрю Уайлз показал, что в его доказательстве последней теоремы Ферма найден пробел, проблема стала справедливой игрой для каждого, до тех пор, пока в следующем году Уайлз сам не устранил ошибку. Большинство математиков соглашается с тем, что в отличие от этого, если неявные шаги доказательства экспертом могут быть превращены в явные, то промежуток — просто прием изложения, и доказательство нужно считать полным и правильным.

 

Иногда бывает трудно определить различие между математическим пробелом и пропуском в изложении. По крайней мере в одном случае, Яу и его студенты, кажется, спутали эти две вещи, сделав заявления о новизне, которые другие математики считают неоправданными. В 1996 г. молодой геометр из Беркли по имени Александр Гивенталь доказал математическую гипотезу о зеркальной симметрии, концепции, которая является фундаментальной для теории струн. Хотя другие математики нашли, что  доказательство Гивенталя трудно проследить, они были оптимистичны в том, что он решил проблему. Как выразился один геометр: “Никто в то время не говорил, что доказательство неполно и неправильно.”

 

Осенью 1997 г. Kefeng Liu, бывший студент Яу, преподававший в Стэнфорде, сделал доклад в Гарварде о зеркальной симметрии. Согласно двум геометрам в аудитории, Liu представил доказательство, поразительно подобное доказательству Гивенталя, описав это как статью, написанную им в соавторстве с Яу и другим студентом Яу. “Лиу упоминал Гивенталя, но только как одного из длинного списка людей, которые внесли свой вклад в область,” — сказал один из геометров. (Лиу утверждает, что его доказательство значительно отличалось от доказательства Гивенталя.)

 

Примерно в то же время Гивенталь получил электронное письмо, подписанное Яу и его сотрудниками, объясняющее, что они нашли невозможным следовать его аргументам и путаным обозначениям и придумали собственное доказательство. Они похвалили Гивенталя за его “блестящую идею” и написали: “В заключительной версии нашей статьи Ваш важный вклад будет признан.”

 

Несколько недель спустя статья “Зеркальный Принцип I” появилась в Asian Journal of Mathematics, одним из членов редакции которого является Яу. В этой статье Яу и его соавторы описывают их результат как “первое полное доказательство” гипотезы о зеркальной симметрии. Они упоминают работу Гивенталя только мимоходом. "К сожалению", пишут они, его доказательство, “которое было прочитано многими видными экспертами, является неполным.” Однако, они не указывают на какой-либо определенный математический пробел.

 

Гивенталь был озадачен. “Я хотел бы знать, каковы были их возражения,” —сказал он нам. “Вовсе не для того, чтобы обличить их или защитить себя.” В марте 1998 г. он опубликовал статью, включавшую в себя примечание на три страницы, в котором он указал на множество подобий между доказательством Яу и его собственным. Несколько месяцев спустя молодой математик из Чикагского Университета, которого старшие коллеги попросили исследовать спор, заключил, что доказательство Гивенталя было полным. Яу говорит, что он работал над  доказательством со своими студентами в течение многих лет, и что они получили результат независимо от Гивенталя. “У нас были наши собственные идеи, и мы их опубликовали,” — говорит он.

 

Примерно в это же время у Яу возник первый серьезный конфликт с Черном и китайскими математическими кругами. В течение многих лет Черн надеялся провести конгресс  I.M.U. в Пекине. Согласно нескольким математикам, которые были активны в I.M.U. в то время, Яу предпринял одиннадцатичасовое усилие, чтобы вместо этого провести конгресс в Гонконге. Но он был не в состоянии убедить достаточное число коллег согласиться с его предложением, и I.M.U. в конечном счете решил провести конгресс 2002 года в Пекине. (Яу отрицает, что он пытался перенести конгресс в Гонконг.) Среди делегатов I.M.U., назначенных в группу, которая выбирала спикеров для конгресса, был самый успешный ученик Яу, Gang Tian, который вместе с Перельманом был в N.Y.U., а теперь являлся профессором M.I.T. Организационный Комитет в Пекине также попросил, чтобы Тиан сделал пленарный доклад.

 

Яу был пойман врасплох. В марте 2000 г. он издал обзор недавних исследований в своей области, усеянный пылающими сылками на Тиана и на их объединенные проекты. Он принял ответные меры, организовав свою первую конференцию по теории струн, которая открылась в Пекине за несколько дней до того, как там начался математический конгресс, в конце августа 2002 г. Яу убедил приехать Стивена Хокинга и нескольких Нобелевских лауреатов, и в течение многих дней китайские газеты были полны фотографий известных ученых. Яу даже сумел принять меры, чтобы его группа имела аудиенцию у Президента Jiang Zemin. Математик, который помогал организовывать математический конгресс, вспоминает, что вдоль шоссе между Пекином и аэропортом стояли “рекламные щиты с всюду расклееными фотографиями Стивена Хокинга.”

 

Тем летом Яу не слишком много думал о гипотезе Пуанкаре. Он был уверен в Гамильтоне, несмотря на его медленный темп. “Гамильтон — очень хороший друг,” сказал нам Яу в Пекине. “Он больше, чем друг. Он — герой. Он так оригинален. Мы работали, чтобы закончить наше доказательство. Гамильтон работал над над этим в течение двадцати пяти лет. Когда Вы работаете, Вы устаете. Он вероятно немного утомился — и Вы хотите отдохнуть.”

 

Затем, 12 ноября 2002 г., Яу получил сообщение по электронной почте от российского математика, имя которого ему ничего не сказало. “Позвольте представить Вашему вниманию мою статью,” — говорилось в электронном письме.

 

11-го ноября Перельман поместил в arXiv.org (вебсайт, используемый математиками, чтобы объявить в виде препринтов статьи, ожидающие публикации в рецензируемых журналах) статью на тридцать девять страниц, названную “Формула Энтропии для Потока Риччи и Ее Геометрические Применения.”  Он тогда послал по электронной почте резюме своей статьи дюжине математиков США, включая Гамильтона, Тиана и Яу, ни один из которых не получал от него известий в течение многих лет. В резюме, он объяснил, что он написал “эскиз эклектичного доказательства” гипотезы геометризации.

 

Перельман не упоминал о доказательстве и не показывал его никому. “У меня не было друзей, с которыми я мог бы его обсудить,” — сказал он нам в Санкт-Петербурге. “Я не хотел обсуждать мою работу с кем-то, кому я не доверял.” Эндрю Уайлз также держал в тайне факт, что он работал над  последней теоремой Ферма, но он сделал так, чтобы коллега исследовал его доказательство перед представлением его публике. Перельман, небрежно публикуя в Интернете доказательство одной из самых известных проблем математики, не только презирал академические условности, но и брал на себя значительный риск. Если бы в доказательстве нашли ошибки, то он был бы публично унижен, и не было бы никаких путей воспрепятствовать другому математику указать на ошибки и потребовать победы. Но Перельман сказал, что он не особенно беспокоился. “Мое рассуждение было таким: если я сделал ошибку, и кто-то использует мою работу, чтобы построить правильное доказательство, я буду только рад,” — сказал он. “Я никогда не намеревался быть единственным покорителем гипотезы Пуанкаре.”

 

Gang Tian был в своем офисе в M.I.T., когда получил электронную почту Перельмана. Они с Перельманом были дружны в 1992 г., когда вместе работали в N.Y.U. и посещали тот же самый еженедельный математический семинар в Принстоне. “Я немедленно понял ее важность,” — сказал Тиан о статье Перельмана. Тиан начал читать статью и обсуждать ее с коллегами, которые разделили с ним его энтузиазм.

 

19-го ноября, Виталий Капович, геометр, послал Перельману электронное письмо:

 

Привет, Гриша, извините, что беспокою Вас, но многие спрашивают меня о Вашем препринте “Формула энтропии для Ricci...” Правильно ли я понимаю, что, хотя Вы не можете все еще сделать всех шагов в программе Гамильтона, Вы можете сделать достаточно, чтобы используя некоторые коллапсирующие результаты Вы могли доказать геометризацию? Виталий.

 

Ответ Перельмана, пришедший на следующий день, был кратким: “Это правильно. Гриша.”

 

Фактически, то, что Перельман разместил в Интернете, было только первым шагом его доказательства. Но этого было достаточно для математиков, чтобы увидеть, что он выяснил, как доказать гипотезу Пуанкаре. Барри Мазер, математик из Гарварда, чтобы описать достижение Перельмана, использует образ вдавленного буфера: “Предположим, что ваш автомобиль имеет вдавленный буфер, и Вы звоните механику, чтобы спросить, как его разгладить. Механику было бы трудно объяснить  Вам по телефону, что переделать. Вы должны были бы привести автомобиль в гараж, чтобы он мог его исследовать. Тогда он мог бы сказать Вам, где сделать несколько ударов. Что ввел Гамильтон, и закончил Перельман — это такая процедура, которая не зависит от особенностей вмятины. Если Вы примените поток Риччи к 3-х мерному пространству, то он начнет разгибать и разглаживать его. Механику не надо было бы даже видеть автомобиль — просто применить уравнение.” Перельман доказал, что "сигары", которые беспокоили Гамильтона, на самом деле не могут встретиться, и он показал, что проблема "шей" может быть решена выполнением запутанной последовательности математических хирургий: вырезанию особенностей и заплатыванию краев. “Теперь у нас есть процедура для сглаживания и, в критических точках, управления разломами,” — сказал Мазер.

 

Тиан написал Перельману, попросив его прочитать лекции по его статье в M.I.T. Коллеги из Принстона и Стони Брук дополнили это подобными приглашениями. Перельман принял их все и был заказан месяц лекций, начинающихся в апреле 2003 г. “Почему бы нет?” — сказал он нам, пожав плечами. Говоря о математиках вообще, Федор Назаров, математик из Мичиганского государственного университета, сказал: “После того, как Вы решили проблему, у Вас появляется сильное желание говорить о ней.”

 

Гамильтон и Яу были ошеломлены объявлением Перельмана. “Нам казалось, что никто кроме нас не сможет найти решение,” — сказал Яу нам в Пекине. “Но тогда, в 2002 г., Перельман написал, что он кое-что опубликовал. Он, в основном, представил сокращенное изложение, не делая всех детальных оценок, которые делали мы.” Кроме того, жаловался Яу, доказательство Перельмана “было написано так путано, что мы не могли его понять.”

 

Тур апрельских лекций Перельмана рассматривался математиками и прессой как главное событие. Среди посетивших его доклад в Принстоне были Джон Болл, Эндрю Уайлз, Джон Форбс Нэш младший, доказавший теорему Римана о вложении, и Джон Конвей, изобретатель игры «Жизнь» для клеточных автоматов. К удивлению многих в аудитории, Перельман ничего не сказал о гипотезе Пуанкаре. “Вот  парень, который доказал всемирно известную теорему и даже не упомянул это,” — сказал Фрэнк Куинн, математик из Технологического Института Вирджинии. “Он заявил некоторые ключевые точки и специальные свойства, а затем ответил на вопросы. Он завоевал доверие. Если бы он бил себя в грудь и говорил: ‘я решил это,’ он встретил бы сильное сопротивление.” Он добавил, “Люди ожидали странностей. Перельман был намного более нормален, чем они ожидали.”

 

К разочарованию Перельмана, Гамильтон не пришел ни на эту лекцию, ни на следующие в Стони Брук. “Я ученик Гамильтона, хотя я не получал от него разрешения,” — сказал нам Перельман. Но Джон Морган из Колумбии, где Гамильтон теперь преподавал, был в аудитории в Стони Брук, и после лекции он пригласил Перельмана выступить в Колумбии. Перельман, надеясь увидеть Гамильтона, согласился. Лекция имела место в субботу утром. Гамильтон опоздал и не задавал никаких вопросов, ни в течение длинной сессии обсуждения, которая последовала за докладом, ни в течение завтрака после этого. “У меня было впечатление, что он прочитал только первую часть моей статьи,” — сказал Перельман.

 

В выпуске журнала Science от 18 апреля 2003 г. Яу в статье о доказательстве Перельмана писал: “Многие эксперты, хотя и не все, кажутся убежденными, что Перельман погасил сигары и приручил узкие шеи. Но они менее уверены, что он может управлять числом хирургий.” Это может оказаться фатальным недостатком, предупреждает Яу, отмечая, что многие другие предпринимавшиеся доказательства гипотезы Пуанкаре споткнулись о подобные недостающие шаги. На доказательства нужно смотреть со скептицизмом, пока математики не имели возможности рассмотреть их полностью, сказал нам Яу. До тех пор, говорил он, “это не математика — это религия.”

 

К середине июля Перельман поместил в Интернете две заключительные части своего доказательства, и математики начали работу по формальной проверке, кропотливо повторяя за ним его шаги. В Соединенных Штатах по крайней мере две команды экспертов поставили себе эту задачу: Gang Tian (конкурент Яу) и Джон Морган; и пара исследователей из Мичиганского Университета. Оба проекта были поддержаны Институтом Клея, который планировал издать работу Тиана и Моргана в виде книги. Книга, кроме предоставления другим математикам справочника по логике Перельмана, позволила бы ему рассматриваться в качестве соискателя приза Института Клея в миллион долларов за доказательство гипотезы Пуанкаре. (Чтобы иметь это право, доказательство должно быть опубликовано в рецензируемом издании и выдержать два года исследования математическим сообществом.)

 

10 сентября 2004 г., больше чем год спустя после того, как Перельман вернулся в Санкт-Петербург, он получил длинное электронное письмо от Тиана, которое говорило, что он только что посетил двухнедельное рабочее совещание в Принстоне, посвященном доказательству Перельмана. “Я думаю, что мы поняли всю статью,” — написал Тиан. “Она правильна.”

 

Перельман не ответил на письмо. Как он объяснил нам: “Я не слишком волновался. Это была известная проблема. Некоторым людям нужно было время, чтобы привыкнуть к факту, что это больше не гипотеза. Я лично решил для себя, что будет правильным оставаться в стороне от проверки, а не участвовать во всех этих встречах.  Для меня важно, что я не влияю на этот процесс.”

 

В июле тогоже года Национальный научный фонд выделил почти миллион долларов в виде грантов Яу, Гамильтону и нескольким ученикам Яу, чтобы изучить и применить "крупное достижение" Перельмана. Целая ветвь математики выросла вокруг усилий доказать гипотезу Пуанкаре, и теперь эта появившаяся ветвь рискует стать устаревшей. Майкл Фридман, который получил медаль Филдса за доказательство гипотезы Пуанкаре для четырех измерений, сказал "Таймс", что доказательство Перельмана было “маленьким горем для этой специфической ветви топологии.” Юрий Бураго сказал: “Это убивает область. После того, как это сделано, многие математики перейдут в другие ветви математики.”

 

Пять месяцев спустя умер Черн, и усилия Яу гарантировать, что он, а не Тиан будет признан преемником, оказались напрасными. “Это все касается их первенства в Китае и их лидерства среди китайцев-экспатриантов,” — сказал Джозеф Кон, бывший председатель отделения математики в Принстоне. “Яу не завидует математике Тиана, но он завидует его власти в Китае.”

 

Хотя Яу никогда не проводил больше нескольких месяцев подряд в материковом Китае со времен своего младенчества он был убежден, что его статус как единственного китайского обладателя медали Филдса должен сделать его преемником Черна. В речи, которую  он дал в Университете Чжэцзяна, в Ханчжоу, летом 2004 г., Яу напомнил своим слушателям о его китайских корнях. “Когда я вышел из самолета, я коснулся почвы Пекина и почувствовал большую радость находиться на своей родине,” сказал он. “Я с гордостью заявляю, что, когда мне предоставляли медаль Филдса по математике, у меня не было паспорта никакой страны, и я, конечно, должен был считаться китайцем.”

 

Следующим летом Яу вернулся в Китай и в ряде интервью с китайскими репортерами напал на Тиана и математиков из Пекинского Университета. В статье, изданной в Пекинской научной газете, которая вышла под заголовком “SHING-TUNG YAU РАЗОБЛАЧАЕТ АКАДЕМИЧЕСКУЮ КОРРУПЦИЮ В КИТАЕ,” Яу назвал Тиана “полным беспорядком.” Он обвинил его в удерживании многократного профессорства и в сборе ста двадцати пяти тысяч долларов на несколько месяцев работы в китайским университете, в то время как студенты жили на сто долларов в месяц. Он также обвинил Тиана в дрянной учености и плагиате,  в запугивании своих аспирантов, чтобы они разрешали ему добавлять свое имя к их статьям. “Так как я продвигал его на всем пути его академической карьеры, сегодня я должен также взять на себя ответственность за его неподобающее поведение,” — так, согласно цитате, говорил Яу репортеру, объясняя, почему он почувствовал себя обязанным высказаться.

 

В другом интервью Яу описал, как филдсовский комитет прокатил Тиана в 1988 г. и как он лоббировал в пользу Тиана различные призовые комитеты, включая один в Национальном научном фонде, предоставивший Тиану в 1994 г. пятьсот тысяч долларов.

 

Тиан был потрясен нападениями Яу, но чувствовал, что, как бывший студент Яу, мало что может с ними поделать. “Его обвинения были необоснованными,” — сказал нам Тиан. Но, добавил он, “у меня имеются глубокие корни в китайской культуре. Учитель есть учитель. Есть уважение. Мне очень трудно думать о том, что нужно делать.”

 

Пока Яу был в Китае, он посетил Xi-Ping Zhu, своего протеже, который был теперь председателем отделения математики в Университете Сунь Ят-Сена. Весной 2003 г., после того, как Перельман закончил свой тур лекций в Соединенных Штатах, Яу поручил Zhu и другому ученику, Huai-Dong Cao, профессору Университета Lehigh, предпринять объяснение доказательства Перельмана. Жу и Као изучили поток Риччи под руководством Яу, который рассматривал Жу, в частности, как исключительно многообещающего математика. “Мы должны выяснить, самосогласована ли статья Перельмана,” — сказал им Яу. Яу принял меры, чтобы Жу провел 2005-06 учебный год в Гарварде, где он давал семинар по доказательству Перельмана и продолжал работать над своей статьей вместе с Као.

 

13-го апреля этого года, тридцать один математик из редакционной коллегии  Asian Journal of Mathematics получил короткое электронное письмо от Яу и со-редактора журнала, сообщающее, что у них есть три дня на то, чтобы прокомментировать статью Xi-Ping Zhu и Huai-Dong Cao, названную “Теория Потока Риччи Гамильтона-Перельмана: Гипотезы Пуанкаре и Геометризации,” которую Яу планировал издать в журнале. Электронная почта не включала копии статьи, сообщений от рефери или резюме. По крайней мере один член правления попросил посмотреть статью, но получил ответ, что она недоступна. 16-го апреля, Cao получил сообщение от Яу, говорящее, что статья принята A.J.M., и резюме помещено на вебсайте журнала.

 

Месяц спустя Яу обедал в Кембридже с Джимом Карлсоном, президент Института Клея. Он сказал Карлсону, что он хотел бы обменять копию статьи Жу и Као на копию рукописи книги Тиана и Моргана. Яу сказал нам, что он волновался, что Тиан будет пытаться украсть работу Жу и Као, и он хотел дать каждой стороне одновременный доступ к тому, что написано другой стороной. “Я обедал с Карлсоном, чтобы попросить обменяться рукописями и удостовериться, что никто не сможет списать у конкурента,” — сказал Яу. Карлсон возразил, объяснив, что Институт Клея еще не принял полную рукопись Тиана и Моргана.

 

К концу следующей недели, название статьи Жу и Као на вебсайте  A.J.M. изменилось на “Полное Доказательство Гипотез Пуанкаре и Геометризации: Применение Теории Потока Риччи Гамильтона-Перельмана.” Резюме было также пересмотрено. Новое предложение гласило: “Это доказательство нужно рассматривать как венчающее успех теории потока Риччи Гамильтона-Перельмана.”

 

Статья Жу и Као была более трехсот страниц длиной и заполнила весь июньский выпуск A.J.M. Большая часть статьи посвящена восстановлению многих результатов риччи-потока Гамильтона, которые Перельман использовал в своем доказательстве, и большой части доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре. В своем введении, Жу и Као признают за Перельманом “введение свежих новых идей по выяснению важных шагов, необходимых для преодоления главных препятствий, которые оставались в программе Гамильтона.” Однако, пишут они, им пришлось “заменить несколько ключевых аргументов Перельмана новыми подходами, основанными на нашем исследовании, потому что мы были неспособны постичь первоначальные аргументы Перельмана, существенные для завершения программы геометризации.” Математики, знакомые с доказательством Перельмана, обсудили идею, что Жу и Као внесли существенно новые подходы в доказательство гипотезы Пуанкаре. “Перельман уже сделал это, и то что он сделал был полным и правильным,” — сказал Джон Морган. “Я не вижу, чтобы они сделали что-нибудь другое.”

 

К началу июня Яу начал продвигать доказательство публично. 3-го июня в своем математическом институте в Пекине он провел пресс-конференцию. Исполняющий обязанности директора института математики, пытаясь объяснять относительные вклад разных математиков, которые работали над доказательством гипотезы Пуанкаре, сказал: “Гамильтон внес больше пятидесяти процентов; русский, Перельман, приблизительно двадцать пять процентов; и китайцы, Яу, Жу, Као и др., — приблизительно тридцать процентов.” (Очевидно, простое сложение может иногда сбить с толку даже математика.) Яу добавил: “Учитывая значение гипотезы Пуанкаре, те тридцать процентов, которые сделали китайские математики, это ни в коем случае не мало. Это очень важный вклад.”

 

12-го июня, за неделю до того как в Пекине открылась организованная Яу конференция по теории струн, South China Morning Post сообщил, что “математики материка, которые помогли взломать ‘математическую проблему тысячелетия’, представят методологию и полученные данные физику Стивену Хокингу....  Яу Шинг-Танг, организовавший посещение профессора Хокинга, а также учитель профессора Као, сказал вчера, что он представит полученные данные профессору Хокингу, потому что он полагает, что эти знания помогут его исследованиям по формированию черных дыр.”

 

Утром перед своей лекцией в Пекине Яу сказал нам: “Мы хотим, чтобы наш  вклад был понят. И это также стратегия поощрения Жу, который работает в Китае и сделал действительно захватывающую работу. Я имею в виду, что это важная работа над проблемой с возрастом в целое столетие, которая будет вероятно иметь приложения еще несколько столетий. Если Вы можете тем или иным способом увековечить Ваше имя, это Ваш вклад.”

 

E.T. Bell, автор книги “Men of mathematics”, остроумной истории дисциплины, изданной в 1937 г. (частично переведенной на русский язык: Э. T. Белл “Творцы математики”, М. Просвещение, 1979), когда-то сокрушался о “ссорах из-за приоритета, которые уродуют научную историю.” Но во времена, когда не было электронной почты, блогов и вебсайтов, определенный этикет обычно преобладал. В 1881 г. Пуанкаре, который был тогда в Университете Кана (Caen), имел препирательство с немецким математиком из Лейпцига по имени Феликс Клейн. Пуанкаре издал несколько статей, в которых он называл определенные функции "фуксовыми", в честь другого математика. Клейн написал Пуанкаре, указывая, что он и другие также проделали существенную работу над этими функциями. Последовал обмен вежливыми письмами между Лейпцигом и Каном. Последним словом Пуанкаре по этому вопросу была цитата из “Фауста” Гете: “Name ist Schall und Rauch.” В свободном переводе это соответствует Шекспиру:  Whats in a name?”

 

Именно этот вопрос, по существу, задают себе друзья Яу. “Я чувствую, что меня раздражает Яу, он, кажется, чувствует потребность в большем престиже,” — сказал Дэн Струк из M.I.T. “Это парень, который сделал великолепные вещи, за которые он был великолепно вознагражден. Он выиграл все призы, какие можно было выиграть. Я думаю, что для него это почти ничего не значит, но кажется, он пытается получить долю также и в этом.” Струк указал, что двадцать пять лет назад Яу был в ситуации, очень похожей на ту, в какой Перельман находится сегодня. Его самый известный результат о многообразиях Калаби-Яу был чрезвычайно важен для теоретической физики. “Калаби наметил программу,” — сказал Струк. “В сущности, Яу был Перельманом для Калаби. Теперь он находится по другую сторону. У него не было вообще никакого раскаяния во взятии себе львиной доли почестей за Калаби-Яу. А теперь он, кажется, обижается на Перельмана, получающего признание за то, что он закончил программу Гамильтона. Я не знаю, приходила ли ему когда-нибудь в голову эта аналогия.”

 

Математика больше многих других областей зависит от сотрудничества. Большинство проблем требует для своего решения озарений нескольких математиков, и в профессии был развит стандарт для признания индивидуальных вкладов, который является столь же строгим, как и правила, управляющие самой математикой. Как выразился Перельман: “Если каждый честен, естественно делиться идями.” Многие математики рассматривают поведение Яу в связи с гипотезой Пуанкаре как нарушение этих этических основ, и беспокоятся об ущербе, который оно нанесло профессии. “Политика, власть и управление не имеют никакой законной роли в нашем сообществе, они угрожают целостности нашей области,” — сказал Филип Гриффитс.

 

Перельман любит посещать оперные представления в Мариинском Театре, в Санкт-Петербурге. Сидя высоко в конце зала, он не может разобрать выражений лиц певцов или видеть детали их костюмов. Но он заботится только о звучании их голосов и говорит, что там, где он сидит, акустика лучше, чем где-либо еще в театре. Перельман рассматривает математическое сообщество — и большую часть остального мира — с подобной дистанции

 

Прежде, чем 23-го июня мы прибыли в Санкт-Петербург,  мы послали Перельману несколько сообщений на адрес его электронной почты в Институте Стеклова, надеясь устроить встречу, но он не ответил. Мы взяли такси до его  дома и, отказываясь злоупотребить его частной жизнью, оставили в его почтовом ящике книгу — собрание статей Джона Нэша — вместе с карточкой, говорящей, что мы на следующий день будем сидеть на скамье соседней детской площадки. На следующий день, после того, как Перельман  не появился, мы оставили коробку жемчужного (pearl) чая и примечания, описав некоторые из вопросов, которые мы надеялись обсудить с ним. Мы повторили этот ритуал в третий раз. Наконец, поверив, что Перельмана не было в городе, мы позвонили в дверь его квартиры, надеясь, по крайней мере, поговорить с его матерью. Женщина открыла и позволила нам войти внутрь. Перельман встретил нас в плохо освещенной прихожей квартиры. Оказалось, что он не проверял свой адрес электронной почты в Стекловке в течение многих месяцев, и не заглядывал в почтовый ящик всю неделю. Он понятия не имел, кто мы такие.

 

Мы договорились встретиться следующим утром в десять на Невском Проспекте. Оттуда Перельман, одетый в спортивное пальто и легкие кожаные туфли, взял нас на четырехчасовую прогулку по городу, комментируя каждое здание и перспективу. После этого мы все пошли на вокальный конкурс в Санкт-Петербургскую Консерваторию, который длился в течение пяти часов. Перельман неоднократно говорил, что он ушел из математического сообщества и больше не считает себя профессиональным математиком. Он упомянул спор, который у него был несколько лет назад с коллегой о том, как оценивать автора специфического доказательства, и сказал, что его тревожит слабая этика дисциплины. “Чужими считаются не те люди, которые нарушают этические стандарты,” — сказал он. “Именно такие как я находятся в изоляции.” Мы спросили его, прочитал ли он статью Жу и Као. “Мне непонятно, что за новый вклад они делают,” — сказал он. “Очевидно, что Жу действительно не совсем понял аргумент и переделывал его.” Что касается Яу, сказал Перельман, “я не могу сказать, что я оскорблен. Другие делают хуже. Конечно, есть много математиков, которые являются более или менее честными. Но почти все они — конформисты. Они более или менее честны, но они терпят тех, кто нечестен.”

 

Перспектива быть награжденым филдсовской медалью вынудила его сделать полный разрыв со своей профессией. “Пока я не был заметен, у меня был выбор,” — объяснил Перельман. “Или сделать некоторую уродливую вещь” — тогда они беспокоятся о целостности математического сообщества —  “или, если бы я не сделал этой вещи, — на меня смотрели бы как на домашнее животное. Теперь, когда я становлюсь очень заметным человеком, я не могу оставаться домашним животным и ничего не говорить. Именно поэтому я должен был уйти.” Мы спросили Перельмана, устранял ли, отказываясь от медали Филдса и уходя из своей профессии, он возможность влияния на дисциплину. “Я не политический деятель!” — ответил он сердито. Перельман не сказал, распространялось ли его возражение против награждения на миллионный долларовый приз Институт Клея. “Я не собираюсь решать, принимать ли приз, пока мне его не предлагают,” — сказал он.

 

Михаил Громов, российский геометр, сказал, что он понял логику Перельмана: “Чтобы сделать большую работу, Вы должны иметь чистый разум. Вы можете думать только о математике. Все остальное — человеческие слабости. Принятие призов показывает слабость.” Другие могут рассматривать отказ Перельмана принять филдсовскую медаль как высокомерие, сказал Громов, но его принципы заслуживают восхищения. “Идеальный ученый делает науку и не заботится ни о чем ином,” — сказал он. “Он хочет жить согласно этому идеалу. Ну, я не думаю, что он действительно живет в этой идеальной плоскости. Но он хочет этого.”

 

19 марта 2007 г.