Кульминацией пятничного рабочего совещания по струнной
космологии здесь в Нью-Йорке была лекция
Виттена о его новых идеях, касающихся
2+1-мерной квантовой гравитации. Я попробую воспроизвести здесь то, что
я понял из лекции, но это (2+1-мерная квантовая гравитация) не такой предмет,
за которым я когда-либо тщательно следил,
таким образом, мое понимание темы весьма ограничено. Хотя мне
действительно кажется, что Виттен выдвинул поразительную новую идею, соединив
очень красивую математику с физикой. Он еще должен написать статью об этом, но
по-видимому она появится относительно быстро. Я также подозреваю, что это и
будет тем, о чем он будет говорить на Струнах-2007.
Виттен начал со
своей мотивации: изучить полностью квантовые черные дыры в точно решаемой
игрушечной модели. Нет никаких точно решаемых моделей в 3+1, а 1+1 слишком
просто, так что остается 2+1. Принимая 2+1, для положительной космологической
постоянной Λ, он подозревает, что теория является
непертурбативно нестабильной и нельзя получить точных наблюдаемых, для Λ =0 нет черных дыр, так что остается
отрицательное значение Λ, здесь вакуумным решением
является анти-де-ситтерово пространство, AdS3.
Квантовая
гравитация в AdS3 связана с 2-мерной конформной теорией поля. Имели место
исследования AdS3/CFT2 как низшей версии струнно-калибровочной
дуальности, но здесь Виттен использует не теорию струн на AdS3, а квантовую теорию поля. После доклада кто-то
спросил о теории струн, Виттен отметил
только, что возможно то, о чем он должен говорить, может быть вложено в теорию
струн, и что недавняя статья Грина и
др., показывающая, что нельзя получить чистую супергравитацию как предел теории
струн, не применима в 3-мерии. Если Вы хотите интерпретировать эту новую работу
в свете войны теорий LQG/string, стоит отметить, что используемая
здесь техника выражения гравитации в терминах переменных калибровочной теории в
надежде проквантовать ее в этих переменных вместо того, чтобы использовать
струны, является одной из центральных идей в программе LQG, направленной на квантование 3+1-гравитации.
Виттен в то же время тщательно указывал, что не существует 3+1-мерного аналога
того, что он делает, утверждая, что нельзя ковариантно выразить гравитацию в
терминах калибровочной теории в 3+1 (он сказал, что LQG делает это нековариантно).
При отрицательных Λ теория имеет решения в виде так
называемых черных дыр BTZ, обнаруженных Банадосом, Тейтельбоймом и Занелли еще в 1992
г., именно для квантовой теории этих
черных дыр Виттен пытается найти точное решение. Техника, которую он
использует, восходит к 80-м годам, и заключается в выражении теории в терминах SO(2,1) калибровочной теории (или
ее двойного накрытия SL(2, R)) , где действие становится действием Черна-Саймонса. Более точно,
действие Эйнштейна-Гильберта
(здесь космологическая постоянная )
переписывается как SO(2,2) =SO (2,1) х SO (2,1) калибровочная теория со связностью
где — 3х3 матрица (спиновая связность), e ─ триплет векторов, а действие калибровочной теории есть действие Черна-Саймонса:
причем (4 здесь, возможно, не вполне правильно …).
Виттен хочет
использовать связь между этим видом топологической КТП и 2-мерной конформной
полевой теорией, которую он сначала исследовал в нескольких контекстах (включая
тот, который принес ему медаль Филдса в конце восьмидесятых). Он отмечает, что
в этом контексте существование левой и правой симметрий Вирасоро с центральными
зарядами было
впервые обнаружено Брауном и Энно еще в 1986 г., и он ссылается на это открытие
как на первое свидетельство AdS/CFT соответствия.
Если у Вас действительно имеется описание CFT,
ожидается, что центральные заряды не могут изменяться непрерывно,
напротив, 2+1 гравитация будет иметь смысл только при определенных значениях , но Виттен отмечает, что нет никакого
строгого способа найти правильные значения, к которым приводит квантование.
Он затем
продолжает и делает "предположение", добавляя к действию число,
кратное инварианту Черна-Саймонса спиновой связности
Теперь теория зависит от двух параметров: и целое число .
Используя тот факт, что SO(2,2) =SO (2,1) х SO (2,1), можно переписать полное действие в виде суммы двух членов Черна-Саймонса:
для связностей
Теперь вместо и мы имеем и они квантуются, если мы относимся к калибровочной теории серьезно. Сшивая поле Черна-Саймонса и гравитацию, получаем, что центральные заряды оказываются равными
и голоморфная
факторизация возможна в 2-мерной CFT только при этих значениях.
Cмотря только
на голоморфную часть, мы имеем голоморфную CFT с центральным зарядом и энергией основного состояния (заметьте, что теперь k другое, чем было прежде …).
Функция распределения, как ожидается, будет иметь вид ():
Первым членом в произведении
является основное состояние
(AdS3),
единственное первичное состояние, а другие члены будут нисходящими членами Вирасоро
(возбуждениями вакуума, в результате действия на него тензора энергии-импульса
и производных).
Виттен
продолжает, замечая, что это выражение не является модулярно инвариантным, так
что следует ожидать других членов в произведении, соответствующих другим
первичным состояниям. Из аргумента, который я не понял, он утверждал, что они будут иметь порядок , при энергиях на выше,
чем энергия основного состояния, и его предложение состояло в том, что эта
модулярно инвариантная функция включает состояния черной дыры.
В этих единицах
минимальная масса черной дыры будет , но здесь мы получаем состояния
только массы и
выше. Это происходит, потому что энтропия Бекенстейна-Хокинга черной дыры равна 0, таким образом она не вносит
вклада в функцию распределения.
Виттен
утверждал, что это предложение дает вырождение состояний, которое согласуется с
формулой энтропии Бекенстейна-Хокинга. Как пример, для функция
распределения дается известной J-функцией
и таким образом,
для черной дыры массы 2 число первичных частиц будет 196883, а энтропия будет ln (196883) =12.19, что можно сравнить
с квазиклассическим предсказанием
Бекенстейна-Хокинга 12.57 (ожидается согласие только для больших k, M).
Число 196883
известно как наинизшая размерность
неприводимого представления группы монстра, и эта функция распределения
известна как имеющая коэффициенты, которые дают размерности других неприводимых
представлений (”модулярная фантазия”). Есть гипотеза, что существует
единственная CFT с этой
функцией распределения. Если это так, это должна быть CFT, которая в качестве своей группы
автоморфизмов имеет группу монстра. Всегда казалось странным, что эта очень
специальная CFT не
соответствует какой-то особенной физической системе, но если Виттен прав, то теперь
она имеет интерпретацию в терминах квантовой теории черных дыр в 2+1 измерениях.
Так или иначе,
это все, что я был в состоянии понять, о том,
что говорил Виттен, и чего он требовал. Другие люди работали над этой
проблемой в прошлом, в качестве недавней обзорной статьи по этой теме см. Carlip здесь. Carlip описывает понимание проблемы как
“очень неполное”, и в качестве одного из объяснений, он описывает связь
проблемы черной дыры с теорией Лиувилля.
После доклада из аудитории прозвучал вопрос об этом, и Виттен указал,
что как он думает, объяснение на основе теории Лиувилля не работает.
Я здесь никакой не эксперт, отсюда неясность
деталей, почему некоторые из этих вещей могли бы быть верны, и каковы могли бы
быть применения, но это действительно кажется замечательной новой идеей,
использующей красивую математику, и кажется, обеспечивающей многообещающее
понимание для критической игрушечной модели в низших размерностях. Я
подозреваю, что это привлечет большое внимание теоретиков в будущем.
По отношению к
этой заметке я особенно поощряю любые комментарии от людей более знающих, чем я
сам и могущих поправить все, что я
изложил неправильно. Я также настоятельно рекомендую людям, которые мало знают
об этом, воздержаться от комментариев,
которые добавят шума и неправильной информации. Достаточно плохо уже то, что я
пытаюсь дать информацию о том, в чем я неопытен; если Вы можете помочь, это
здорово, но в противном случае, пожалуйста не делайте это еще хуже …
Физика высоких энергий - Теория
Название: Трехмерная повторно
посещенная гравитация
Авторы: Эдвард Виттен
(Помещено 22 июня 2007)
Резюме: Мы рассматриваем проблему нахождения
CFT, которая может быть дуальной к чистой гравитации в трех
измерениях с отрицательной космологической постоянной. C-теорема указывает, что
трехмерная чистая гравитация последовательна только при определенных значениях константы
взаимодействия, а связь с калибровочной теории Черна-Саймонса намекает, что это
могут быть значения, при которых дуальная CFT может быть голоморфно
факторизована. Если это так, и если принять во внимание минимальную массу
черной дыры BTZ, тогда энергетический спектр трехмерной гравитации с
отрицательной космологической постоянной может быть определен точно. При самом
отрицательном значении космологической постоянной, дуальная CFT
вероятно будет теорией
монстра Frenkel, Lepowsky, и Meurman. Теория монстра может быть
первой в дискретном ряду CFT, дуальных к трехмерной гравитации. Функция
распределения следующей (второй) теории из этой последовательности может быть
определена на гиперэллиптической поверхности Римана любого рода. Мы также проводим
подобный анализ для супергравитации.
Комментарии: 82 стр
Предметы: Физика высоких энергий - Теория (hep-th)
Цитируйте как: arXiv:0706.3359v1 [hep-th]
История подачи
От: Эдвард Виттен [смотрите
электронную почту]
[v1] пятница, 22 июня 2007
15:45:04 по Гринвичу (142 КБ)