Мои интересы ближе к математической физике, чем к теоретической теории, и далеки от феноменологии (за возможным исключением гравитационной физики).
Далее, из различных методов математической физики мне ближе всего гамильтонов формализм, в самом широком его смысле. Это предполагает глубокие связи с современной геометрией, которую надо бы знать намного лучше... Например, на русском языке см. здесь.
И наконец, по историческим причинам, излюбленный предмет составляют нетривиальные граничные задачи в рамках гамильтонова формализма теории поля.
Первой из таких задач для меня была проблема ненулевого гамильтониана в общей теории относительности.
Известно, что обычно гамильтониан равен просто интегралу от 00-компоненты тензора-энергии импульса. В общей теории относительности (ОТО) полный тензор энергии-импульса (для гравитационного поля и других полей, вместе взятых) равен нулю (на решениях уравнений движения, то есть, более точно выражаясь, он равен линейной комбинации связей [уравнения связи в лагранжевой механике связывают координаты и скорости, в гамильтоновой - координаты и импульсы]). Этот нуль получается из определения тензора энергии-импульса по Гильберту, то есть, из вычисления вариационной производной по метрике пространства-времени от полного действия для всех полей. Так как эта самая метрика в ОТО есть одно из динамических полей, варьирование по ней должно давать уравнения движения.
Итак, казалось бы, гамильтониан ОТО должен быть линейной комбинацией связей и обращаться в нуль на их решениях. Однако, Арновитт, Дезер и Мизнер (АДМ), в конце 50-х годов построившие гамильтонов формализм ОТО (одновремено с Дираком), утверждали, что этот самый гамильтониан равен некоторому поверхностному интегралу по бесконечно удаленной сфере (по "границе пространства").
На первый взгляд, здесь много непонятного. Гамильтоновы уравнения движения, как известно, определяются через вариационные производные от гамильтониана. Если гамильтониан выражается поверхностным интегралом, то его можно переписать (по теореме Стокса) через объемный интеграл от некоторой дивергенции. Но дивергенции не дают вклада в вариационные производные. Казалось бы, гамильтониан АДМ должен приводить к тривиальным уравнениям движения, вместо известных уравнений ОТО.
С этим парадоксом лет 15 разбирались, кроме
АДМ и Дирака, такие теоретики как Швингер, Хиггс, де Витт, а решение нашли
в 1974 году Редже и Тейтельбойм.
Вариационные производные следует вычислять
не от одного поверхностного интеграла АДМ, а от суммы его с линейной комбинацией
связей. Только вместе они дают "дифференцируемый" функционал, то есть,
такой, что его вариация не содержит граничных (или, другими словами, поверхностных)
членов, а имеет привычный нам вид: объемный интеграл от вариационных производных
по полям и сопряженным импульсам, умноженных на соответствующие вариации
этих самых полей и импульсов.
Все это справедливо лишь при некоторых граничных условиях. Во-первых, и кривизна пространства, и кривизна пространства-времени должны стремиться к нулю при бесконечном удалении от любого наблюдателя в пространственноподобном направлении. Во-вторых, координаты пространства-времени должны стремиться к ортогональным (галилеевым) координатам, то есть, метрика должна переходить в привычную метрику пространства Минковского. И в-третьих, скорость этого стремления должна быть равна скорости убывания кулоновского (или ньютоновского) потенциала.
Наконец, все мы верим, что после наложения калибровок и замены скобок Пуассона на скобки Дирака из гамильтониана ОТО можно будет убрать связи, и "дивергенции перестанут быть дивергенциями", но попробуйте это доказать!!!
Моя задача, конечно, была несколько проще:
1) объяснить, почему теорема Нетер дает ноль,
а подход АДМ - не ноль;
Ответ на первый вопрос состоял в том, что надо
с самого начала заложить в процедуру Нетер граничные условия (что я в 1982 году назвал
глобальным подходом). Тогда не все функции, произвольные в стандартной
процедуре Нетер (локальный подход), будут произвольными
и в качестве результата мы получим не только дифференциальные тождества,
но и интегральные. Эти новые интегральные тождества и дают нам нечто вроде
"глобальных законов сохранения" (кавычки здесь стоят, потому что граничные
условия в моих работах не были общековариантными). Они больше похожи на
законы сохранения механики (некий функционал не меняется при эволюции),
чем теории поля (дивергенция некоторого тока равна нулю).
2) разобраться, получается ли поверхностный интеграл
АДМ, если использовать произвольные криволинейные координаты.
В наше время, т.е. двадцать лет спустя, проблема дошла до математиков [в том смысле, что она была сформулирована на их языке, и затем, на нем же решена]. В марте 2002 года на семинаре Джета Неструева на территории Независимого московского университета в Большом Власьевском переулке два заседания было посвящено асимптотическим законам сохранения - докладывались работы групп, лидерами которых являются I. Anderson (США) и M. Henneaux (Бельгия). В сущности в этих работах на инвариантном языке (дифференциальные формы, вариационный бикомплекс, группы когомологий) переформулированы те же самые основные идеи, которые использовались в "глобальном подходе к теореме Нетер":
Ответ на второй вопрос (утвердительный) был получен исходя из изучения поверхностных интегралов в скобках Пуассона гамильтонианов друг с другом [гамильтониан здесь - пространственный интеграл от линейной комбинации связей + поверхностный интеграл, разные гамильтонианы отличаются только коэффициентами этой линейной комбинации, то есть, просто неварьируемыми функциями]. Тогда я не задумывался о справедливости тождества Якоби (см. ниже), как не задумывались об этом и Редже с Тейтельбоймом, а просто пользовался стандартным определением скобок.
Позволю себе напомнить, что скобки Пуассона теории поля отличаются от механики тем, что
Таким путем удалось обобщить граничные условия Редже-Тейтельбойма на произвольные криволинейные координаты, а для галилеевых координат предельно ослабить требования к асимптотикам (последний результат был двумя годами позже повторен в работе двух авторов [R. Beig, N. O'Murchadha], посетивших в 1986 г. Варшаву, где их, по всей видимости, познакомил с моей работой P. Chrusciel, прочитавший ее по-русски и не однажды на нее ссылавшийся). Можно посмотреть записи лекций, прочитанных недавно на Тайване, где эти результаты излагаются. Алгебра деформаций на бесконечности при этом не может быть произвольной, она является алгеброй Пуанкаре, сохраняющей граничные условия для метрики пространства-времени.
Второй задачей из этого ряда была попытка построить аналогичную реализацию алгебры Пуанкаре в формализме, предложенном в 1986 году Аштекаром.
Особенность подхода Аштекара в том, что гравитация становится максимально похожей на калибровочные поля Янга-Миллса. Роль координаты играет связность, а пространственная метрика, точнее, представляющие ее триады, служат импульсными переменными. Кроме того, гамильтониан теперь является полиномом, а в ОТО он, по сути дела, представляет собой бесконечный ряд (из-за обратной матрицы - контравариантной метрики, и из-за квадратного корня детерминанта метрики). Все это вдохновило группу теоретиков на масштабную попытку квантования гравитации (трудностей и в новом формализме хватает...).
Интересным результатом работы оказалось, что преобразование от стандартных переменных к переменным Аштекара не является строго каноническим. Оно отличается от канонического поверхностным членом, возникающим из-за некоммутативности вариационных производных. В свою очередь, последний факт - некоммутативность (или, точнее, коммутативность с точностью до поверхностных членов) вариационных производных - является общим свойством всех теорий поля. Оно ведет к тому, что стандартные скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби лишь по модулю дивергенций.
Кроме того, была предложена формула, позволяющая не терять вклад поверхностных членов при работе с локальными выражениями и дельта-функциями. Ее недавно переоткрыл Mu-In Park. В работе была сформулирована программа для нового направления исследований - стало ясно, что в теории поля требуется принимать во внимание поверхностные члены не только в гамильтониане (чему нас научили Редже и Тейтельбойм), но и в симплектической форме или в скобках Пуассона. Сейчас, спустя 10 лет после выхода этой работы, направление становится все более популярным (B. Julia, S. Silva, R. Wald и др.).
Третья задача заключалась в желании найти лучшую формулу для скобок Пуассона в теории поля, которая удовлетворяла бы всем основным свойствам (билинейности, антисимметрии и тождеству Якоби) не по модулю дивергенций, а точно.
Хотелось рассматривать любые локальные функционалы, пусть даже их вариации и содержат поверхностные вклады ("недифференцируемые" в терминологии Редже-Тейтельбойма). Первые шаги в этом направлении были сделаны раньше, на меня сильно повлияла статья Льюис, Марсдена, Монтгомери и Ратью. Надо было перейти от обычной (Эйлера-Лагранжа) вариационной производной к чему-то более общему. Подходящим объектом оказались, так называемые, высшие эйлеровы производные, о которых я узнал из книги П. Олвера "Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям", М. "Мир", 1989.
Далее, нужно было найти способ "спарить" наборы (в принципе, любой конечной длины) этих высших эйлеровых производных друг с другом. У меня это получилось исходя из того, что скобка Пуассона должна порождать полную вариацию произвольного локального функционала под действием другого функционала, играющего роль гамильтониана, и из антисимметрии скобки.
(В июне 1998 года появился препринт Беринга, где предложен другой способ спаривания. Мне кажется, что этот способ приводит к потере инвариантности скобки при общих преобразованиях полевых переменных.)
Наконец, нужно было убедиться, что тождество Якоби действительно выполняется в самом общем случае. Это потребовало больших усилий и кончилось написанием статьи, имеющей скорее математический вид (определения, леммы, теоремы, доказательства...). После этого была сделана еще одна математическая работа, где я попытался расширить на дивергенции так называемое формальное вариационное исчисление, появившееся около 1975 года в работах Гельфанда, Дикого, Дорфман и др. В окончательном виде статья появится в JMP в июле 2002 года. Недостатком этой деятельности является координатный язык, который математиками практически не используется. Пока не вполне ясно, как выразить содержание в инвариантных формах глобального анализа. Однако у некоторых математиков проявился интерес к этим работам, выразившийся в цитировании (Леонид Дикий, Ezra Getzler).
Несколько приложений новой формулы для скобки Пуассона к физическим задачам.